Question

2．過拋物線y²=2px（p＞0）焦點F的直線與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的一條漸近線平行，并交其拋物線于A，B兩點，若|AF|＞|BF|，且|AF|=3，則拋物線方程為（　�。�

• A． y²=x
• B． y²=2x
• C． y²=4x
• D． y²=8x

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義和雙曲線的定義，不妨設(shè)直線AB為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），設(shè)A（x₀，y₀）得到|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，表示出x₀，y₀，代入到拋物線的解析式，求出p的值，需要驗證

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F的坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的一條漸近線方程為y=2$\sqrt{2}$x，
不妨設(shè)直線AB為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），設(shè)A（x₀，y₀），|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，
∵|AF|＞|BF|，且|AF|=3，∴∴x₀=3-$\frac{p}{2}$，x₀＞$\frac{p}{2}$，
∴0＜p＜3，∴y₀=2$\sqrt{2}$（3-p），
∴8（3-p）²=2p（3-$\frac{p}{2}$），
整理得p²-6p+8=0，
解的p=2或p=4（舍去），
故拋物線的方程為y²=4x，
故選：C

點評 本題考查了直線和拋物線的關(guān)系，以及拋物線和雙曲線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．