Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的a∈[-3，0]，x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)f'（x），令f'（x）=0，得極值點(diǎn)，按兩極值點(diǎn)的大小關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等價(jià)于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（ I）易求f（x）的最大值、最小值，從而可得|f（x₁）-f（x₂）|_max，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需

g(-3)≤0 g(0)≤0

，解出即可；

解答： 解：（ I）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
①當(dāng)a＜1時(shí)，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，a），（1，+∞），減區(qū)間為（a，1）；
②當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=6（x-1）²≥0，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，由f'（x）＞0，得x＜1或x＞a，由f'（x）＜0，得1＜x＜a，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），（a，+∞），減區(qū)間為（1，a）．
（Ⅱ）對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等價(jià)于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
由（ I）可得，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，且f（0）=0，f（2）=4，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（2）-f（1）=5-3a，
則問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，即對(duì)于任意的a∈[-3，0]，（m²-3）a-m+5≤0恒成立．
構(gòu)造g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需

g(-3)≤0 g(0)≤0

，解得m∈[5，+∞）．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、在閉區(qū)間上的最值求解及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬中檔題．