Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}-3，-1＜x≤0}\\{x，0＜x≤1}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-mx-m在（-1，1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（$-\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由g（x）=f（x）-mx-m=0，即f（x）=m（x+1），
分別作出函數(shù)f（x）和y=h（x）=m（x+1）的圖象如圖：
由圖象可知f（1）=1，h（x）表示過定點(diǎn)A（-1，0）的直線，
當(dāng)h（x）過（1，1）時(shí)，m=$\frac{1}{2}$，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)滿足條件的m的取值范圍是0＜m≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)h（x）過（0，-2）時(shí)，h（0）=-2，解得m=-2，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)h（x）與f（x）相切時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí) $\frac{1}{x+3}$x-3=m（x+1）即m（x+1）²+3（x+1）-1=0，
當(dāng)m=0時(shí)，只有1解，當(dāng)m≠0，由△=9+4m=0得m=-$\frac{9}{4}$，此時(shí)直線和f（x）相切，
∴要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則-$\frac{9}{4}$＜m≤-2或0＜m≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：（$-\frac{9}{4}$，-2]∪（0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法，屬于中檔題．