Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，求t的取值范圍；
（3）設(shè)f（x）在[t，t+2]上最大值M與最小值m之差為g（t），試求g（t）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（1）利用導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，從而知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的極值；（2）利用（1）的結(jié)論，f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，即區(qū)間[t，t+2]為增區(qū)間，得到t的取值范圍；（3）通過(guò)分類(lèi)討論，確定的最值，從而用t表示它們的差，得到g（t）的解析式，即得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴當(dāng)x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x=-1時(shí)，f′（x）=0，f（x）有極大值f（-1）=2；
當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，f（x）有極小值f（1）=-2．
∴f（x）的極大值為2，極小值為-2．
（2）由（1）知：f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[1，+∞）．
∵f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，
∴t+2≤-1或t≥1，
∴t≤-3或t≥1．
∴t的取值范圍為：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
（3）∵f（x）在[t，t+2]上最大值M與最小值m，
∴①當(dāng)t+2≤-1，即t≤-3時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴M=f（t+2），m=f（t），
∴g（t）=M-m=f（t+2）-f（t）=（t+2）³-3（t+2）-（t³-3t）=6t²+12t+2；
②當(dāng)t≤-1＜t+2，即-3＜t≤-1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，t+2]上單調(diào)遞減，
∴M=f（-1）=2，
f（t+2）-f（t）=6t²+12t+2，
（i）當(dāng)6t²+12t+2≥0，即-3＜t≤-

3+ 6

3

時(shí)，
∴m=f（t）=6t²+12t+2，
g（t）=M-m=-6t²-12t；
（ii）當(dāng)6t²+12t+2＜0，即-

3+ 6

3

≤t≤-1時(shí)，
∴m=f（t+2）=t³+6t²+9t+2，
g（t）=M-m=-t³-6t²-9t；
③當(dāng)-1＜t＜1時(shí)，1＜t+2＜3，
f（x）在區(qū)間[t，1]上單調(diào)遞減，在[1，t+2]上單調(diào)遞增，
∴m=f（1）=-2，
f（t+2）-f（t）=6t²+12t+2，
（i）當(dāng)6t²+12t+2≥0，即

-3+ 6

3

≤t＜1時(shí)，
∴M=f（t+2）=t³+6t²+9t+2，
g（t）=M-m=t³+6t²+9t+4；
（ii）當(dāng)6t²+12t+2＜0，即-1＜t＜

-3+ 6

3

時(shí)，
∴M=f（t）=6t²+12t+2；
g（t）=M-m=6t²+12t+4；
④當(dāng)t≥1時(shí)，f（x）在區(qū)間[t，t+2]上單調(diào)遞增，
∴M=f（t+2），m=f（t），
∴g（t）=M-m=f（t+2）-f（t）=（t+2）³-3（t+2）-（t³-3t）=6t²+12t+2．
綜上，①當(dāng)t≤-3時(shí)，g（t）=6t²+12t+2；
②當(dāng)-3＜t≤-

3+ 6

3

時(shí)，g（t）=M-m=-6t²-12t；
③當(dāng)-

3+ 6

3

≤t≤-1時(shí)，g（t）=M-m=-t³-6t²-9t；
④當(dāng)-1＜t＜

-3+ 6

3

時(shí)，g（t）=M-m=6t²+12t+4；
⑤當(dāng)

-3+ 6

3

≤t＜1時(shí)，g（t）=M-m=t³+6t²+9t+4；
⑥當(dāng)t≥1時(shí)，g（t）=6t²+12t+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用導(dǎo)函數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，本題運(yùn)算量較大，屬于難題．