Question

11．已知關于x的一元二次方程9x²+6ax-b²+4=0，a，b∈R
（1）若a是從1，2，3三個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求已知方程有兩個不相等實根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]內任取一個數，b是從區(qū)間[0，2]內任取一個數，求已知方程有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）列舉出所有基本事件個數，及滿足條件方程有兩個不相等實根（△＞0）的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．
（2）計算a是從區(qū)間[0，3]內任取一個數，b是從區(qū)間[0，2]內任取一個數，對應的基本事件的面積，及滿足條件方程有實根的基本事件的面積，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．

解答 解：設事件A為“方程9x²+6ax-b²+4=0有2個不相等的實數根”，事件B為“方程9x²+6ax-b²+4=0有實數根”
（1）由題意，知基本事件有9個，即（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中第一個表示a的取值，第二個數表示b的取值．
由△=36a²+36（-b²+4）=36a²+36b²-36×4＞0得a²+b²＞4
事件A要求a，b滿足條件a²+b²＞4，可知包含6個基本文件：（1，2），（2，2），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），
∴方程有2個不同實根的概率$P（A）=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
（2）由題意方程有實根的區(qū)域為圖中陰影部分，
∴所求概率為$P（B）=\frac{6-π}{6}=1-\frac{π}{6}$．

點評 本題考查的知識點是幾何概型，古典概型，其中分析出滿足條件的基本事件的實質是解答的關鍵．