Question

17．四面體ABCD的四個頂點均在半徑為2的球面上，若AB，AC，AD兩兩垂直，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=2$，則四面體ABCD．體積的最大值為$\frac{7\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 由題意，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c²=2，則a²+b²+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用體積公式，即可求出四面體ABCD體積的最大值．即可求出四面體體積的最大值．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=c•$\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}$•$\frac{c}{\sqrt{{c}^{2}+{a}^{2}}}$=c²=2，
∵a²+b²+c²=16，
∴a²+b²=14≥2ab，
∴ab≤7，
∴四面體ABCD體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$abc=$\frac{\sqrt{2}}{6}$ab≤$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
∴四面體ABCD體積的最大值$\frac{7\sqrt{2}}{6}$，
故答案為：$\frac{7\sqrt{2}}{6}$

點評 本題考查四面體ABCD體積的最大值，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．