Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$ax²（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a≤1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f′（x）的圖象恒在y=ax³+x-（a-1）x的圖象上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分類討論a的大小來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）利用轉(zhuǎn)化思想：當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f'（x）的圖象恒在y=ax³+x²-（a-1）x的圖象上方，即xe^x-ax＞ax³+x²-（a-1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；即 e^x-ax²-x-1＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；

解答 解：（I）f'（x）=xe^x-ax=x（e^x-a）
當(dāng)a≤0時(shí)，e^x-a＞0，∴x∈（-∞，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，令f'（x）=0得x=0或x=lna．
（i） 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，故：x∈（-∞，lna）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈（lna，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；       
（ii） 當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，f'（x）=xe^x-ax=x（e^x-1）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間；      
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，lna）和（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（lna，0）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞），無(wú)減區(qū)間．
（II）由（I）知f'（x）=xe^x-ax
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，y=f'（x）的圖象恒在y=ax³+x²-（a-1）x的圖象上方；
即xe^x-ax＞ax³+x²-（a-1）x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；
即 e^x-ax²-x-1＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立；          
記 g（x）=e^x-ax²-x-1（x＞0），
∴g'（x）=e^x-2ax-1=h（x）；∴h'（x）=e^x-2a；
（i） 當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，h'（x）=e^x-2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g'（x）＞g'（0）=0；
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴g（x）＞g（0）=0，符合題意；                        
（ii） 當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，令h'（x）=0得x=ln（2a）；
∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，h'（x）＜0，
∴g'（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減；
∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，g'（x）＜g'（0）=0；
∴g（x）在（0，ln（2a））上單調(diào)遞減，
∴x∈（0，ln（2a））時(shí)，g（x）＜g（0）=0，不符合題意；  
綜上可得a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，屬中等偏上題型．