Question

7．如圖所示，一海島駐扎一支部隊，海島離岸邊最近點B的距離是150km．在岸邊距B點300km的點A處有一軍需品倉庫．有一批軍需品要盡快送達海島．A與B之間有一鐵路，現(xiàn)用海陸聯(lián)運方式運送，火車時速為50km，輪船時速為30km，試在岸邊選一點C，先將軍需品用火車送到點C，再用輪船從點C運到海島．問點C選在何處可使運輸時間最短？

Answer 1

分析 設BC=xkm，得出運輸時間y關于x的函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性得出函數(shù)的最小值．

解答 解：設BC=xkm，火車運算距離為AC=300-x，輪船運算距離為$\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}$，
∴運輸時間y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$，0≤x≤300，
∴y′=$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}$-$\frac{1}{50}$，令y′=0，則有5x=3$\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}$，
解得x=$\frac{225}{2}$或x=-$\frac{225}{2}$（舍），
∴當0$＜x＜\frac{225}{2}$時，y′＜0，當$\frac{225}{2}＜x＜30$時，y′＞0，
∴函數(shù)y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$在[0，$\frac{225}{2}$）上單調遞減，在（$\frac{225}{2}$，30]上單調遞增，
∴當x=$\frac{225}{2}$時，y取得最小值10．
∴當BC=$\frac{225}{2}$km時，遠輸時間最短．

點評 本題考查了解三角形與函數(shù)模型的應用，函數(shù)單調性與最值的計算，屬于中檔題．