Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，坐標原點O到過點A（0，-b）和B（a，0）的直線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．又直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該橢圓交于不同的兩點C，D．且C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）當k=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，求m的值，以及此時△ACD面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到2a²=3c²，根據(jù)三角形面積相等，求得a²•b²=$\frac{3}{4}$（a²+b²），由a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得0＜m²＜3，根據(jù)韋達定理，利用中點坐標公式，求得P點坐標，由k_AP•k_CD=-1，即可求得m，代入，由弦長公式可知：丨CD丨，求出點A到CD的距離，即可求得△ABC面積．

解答 解：（1）$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即2a²=3c²，
由題意可知：由△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+^{2}}•\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理得：a²•b²=$\frac{3}{4}$（a²+b²），
a²=b²+c²，
解得：a²=3，b²=1，c²=1，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1------------------（4分）
（2）橢圓與直線聯(lián)立，消去y得3x²+2$\sqrt{6}$mx+3m²-3=0，△=24m²-12（3m²-3）＞0------------（6分）
∴0＜m²＜3-----①-------（7分）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．CD的中點為P（x₀，y₀），
∴由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{6}m}{3}$，x₁•x₂=m²-1，-----②
∴P（-$\frac{\sqrt{6}m}{3}$，$\frac{m}{3}$）
依題意，可知AP⊥CD，
∴k_AP•k_CD=-1，代入坐標，得：m=$\frac{3}{2}$，滿足①，-----（8分）
由②得x₁+x₂=-$\sqrt{6}$，x₁•x₂=$\frac{5}{4}$
∴根據(jù)弦長公式可知：丨CD丨=$\sqrt{1+\frac{2}{3}}$•丨x₁-x₂丨=$\frac{\sqrt{15}}{3}$-----------------（10分）
點A到CD的距離d=|AP|=$\frac{\sqrt{15}}{2}$----------------（11分）
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•d•丨CD|=$\frac{5}{4}$------------------（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式，點到直線的距離公式，韋達定理，中點坐標及三角形面積公式的綜合應用，考查計算能力，綜合性強，屬于中檔題．