Question

14．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$+…-$\frac{{x}^{2015}}{2015}$，設函數(shù)F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函數(shù)的所有零點均在[a，b]（a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 求導數(shù)，確定f（x）是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點，同理可得函數(shù)g（x）在[0，1]上有一個零點；即可得出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴；
x＞-1時，f′（x）＞0，f′（-1）=2015＞0，x＜-1時，f′（x）＞0，
因此f（x）是R上的增函數(shù)，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＜0
∴函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個零點；
∴函數(shù)f（x+3）在[-4，-3]上有一個零點，
同理，g′（x）=-1+x-x²+…-x²⁰¹⁴；
x＞-1時，g′（x）＜0，g′（-1）=-2015＜0，x＜-1時，g′（x）＜0，
因此g（x）是R上的減函數(shù)，
∵g（0）=-1＜0，g（1）=（1-1）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＞0
∴函數(shù)g（x）在[0，1]上有一個零點；
∴函數(shù)g（x-4）在[4，5]上有一個零點，
∵函數(shù)F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零點均在區(qū)間[a，b]，（a，b∈Z）內(nèi)，
∴a_max=-4，b_min=5，
∴（b-a）_min=5-（-4）=9．
故選：C．

點評 此題是難題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，學生靈活應用知識分析解決問題的能力．