【題目】如圖,在矩形中, , 的中點(diǎn), 的中點(diǎn).將沿折起到,使得平面平面(如圖).

圖1 圖2

(Ⅰ)求證: ;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

【答案】證明見解析;( (Ⅲ) .

【解析】試題分析:(根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,由平面平面可得平面,從而可得;(中點(diǎn)為,連結(jié),由矩形性質(zhì), ,可知,由(Ⅰ)可知, ,為原點(diǎn), , , 軸建立坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量及直線的方向向量,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面,設(shè)利用直線與平面的法向量垂直,數(shù)量積為零,列方程求解即可.

.

試題解析(Ⅰ)如圖,在矩形中,

, 中點(diǎn), ,

的中點(diǎn),

由題意可知, ,

平面平面

圖1 圖2

平面平面,平面,

平面,

平面,

,

(Ⅱ)取中點(diǎn)為,連結(jié),

由矩形性質(zhì), ,可知,

由(Ⅰ)可知, ,

為原點(diǎn), 軸, 軸, 軸建立坐標(biāo)系,

中,由,則,

所以

,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,,則,

所以,

設(shè)直線與平面所成角為,

所以直線與平面所成角的正弦值為.

(Ⅲ)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面

設(shè),

,,所以,

,,

平面,則,

所以,解得,

所以.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)以及利用空間向量求線面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

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(1)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖填寫下面列聯(lián)表,從等高條形圖中判斷箱產(chǎn)量是否與新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法有關(guān);

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)?

箱產(chǎn)量<50kg

箱產(chǎn)量≥50kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

參考公式:

(1)給定臨界值表

P(K)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(2)其中為樣本容量.

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組號

分組

回答正確

的人數(shù)

回答正確的人數(shù)

占本組的頻率

第1組

[15,25)

0.5

第2組

[25,35)

18

第3組

[35,45)

0.9

第4組

[45,55)

9

0.36

第5組

[55,65]

3

(1)分別求出的值;

(2)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求第2,3,4組每組各抽取多少人?

(3)在(2)抽取的6人中隨機(jī)抽取2人,求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率.

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【題目】如圖1,在△中,,分別為的中點(diǎn),的中點(diǎn),將△沿折起到△的位置,使得平面平面,如圖2.

(Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求直線和平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)線段上是否存在點(diǎn),使得直線所成角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由

圖1 圖2

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