Question

11．已知$P（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$在橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，PF⊥垂直于x軸，A，B，C，D為橢圓上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AC，BD交于原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的方程；
（2）判斷直線l：$\frac{m+n}{2}x+（{m-n}）y=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}m+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}n（{m，n∈R}）$與橢圓的位置關(guān)系；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）滿足$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，判斷k_AB+k_BC的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出此定值，并求出四邊形ABCD面積的最大值，否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由PF⊥垂直于x軸，則c=$\sqrt{3}$，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程化簡(jiǎn)，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，則動(dòng)直線l恒過(guò)P點(diǎn)，直線l與橢圓的位置關(guān)系是相切或相交；
（3）由$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，則4y₁y₂=x₁x₂，當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及4y₁y₂=x₁x₂，求得k，把三角形AOB的面積化為關(guān)于m的函數(shù)，利用基本不等式求其最值，進(jìn)一步得到四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：PF⊥垂直于x軸，則c=$\sqrt{3}$，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}-3}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得：a=2，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）將直線l：$\frac{m+n}{2}x+（{m-n}）y=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}m+\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}n（{m，n∈R}）$，轉(zhuǎn)化成（$\frac{x}{2}$+y-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）m+（$\frac{x}{2}$-y-$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）n=0，
由m，n∈R，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}+y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{\frac{x}{2}-y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴動(dòng)直線l恒過(guò)P點(diǎn)，
由P在橢圓上，
∴直線l與橢圓的位置關(guān)系是相切或相交；
（3）∵$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}$=$\frac{1}{5}$，則4y₁y₂=x₁x₂，
若直線AB的斜率不存在（或AB的斜率為0時(shí)），不滿足4y₁y₂=x₁x₂；
直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4）=16（4k²-m²+1）＞0，①
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
∵4y₁y₂=x₁x₂，又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴（4k²-1）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
即（4k²-1）×$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$+4km（-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$）+4m²=0．
整理得：k=±$\frac{1}{2}$．
∵A、B、C、D的位置可以輪換，∴AB、BC的斜率一個(gè)是$\frac{1}{2}$，另一個(gè)就是-$\frac{1}{2}$．
∴k_AB+k_BC=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，是定值．
不妨設(shè)k_AB=-$\frac{1}{2}$，則x₁+x₂=2m，x₁x₂=2（m²-1）．
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|•$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{丨m丨}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{丨m丨}{2}$$\sqrt{4{m}^{2}-4×2（{m}^{2}-1）}$=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$≤1．
當(dāng)m²=1時(shí)滿足①取等號(hào)．
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB≤4，即四邊形ABCD面積的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．