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3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點F1與拋物線y2=-43x的焦點重合,過點F1的直線l交橢圓于A,B兩點.當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的一個短軸端點時,與以原點O為圓心,以橢圓的離心率e為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否在x軸上存在定點M,使AMBM為定值?若存在,請求出定點M及定值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)求得拋物線的焦點坐標(biāo),可得c=3,即a2-b2=3,求得直線經(jīng)過(-c,0)和(0,b)的方程,運用直線和圓相切的條件:d=r,結(jié)合離心率公式可得b,a,進而得到橢圓方程;
(2)假設(shè)直線l的斜率存在,設(shè)直線的方程為y=k(x+3),代入橢圓方程x2+4y2=4,可得x的方程,運用韋達定理,設(shè)出M(m,0),運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理,結(jié)合定值,可得m,以及向量數(shù)量積的值;再討論直線l的斜率不存在,求得A,B,驗證成立.

解答 解:(1)拋物線y2=-43x的焦點為(-3,0),
由題意可得c=3,即a2-b2=3,
由直線l經(jīng)過(-c,0)和(0,b),可得直線l:bx-cy+bc=0,
直線l與原點O為圓心,以橢圓的離心率e為半徑的圓相切,可得
|bc|2+c2=e=bca=ca,解得b=1,則a=2,
即有橢圓的方程為x24+y2=1;
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線的方程為y=k(x+3),
代入橢圓方程x2+4y2=4,可得(1+4k2)x2+83k2x+12k2-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=-83k21+4k2,x1x2=12k241+4k2,
設(shè)M(m,0),AM=(m-x1,-y1),BM=(m-x2,-y2),
AMBM═(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1+3)(x2+3
=m2+(3k2-m)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+3k2
=m2+(3k2-m)(-83k21+4k2)+(1+k2)•12k241+4k2+3k2
=4m2+83m+11k2+m241+4k2,
要使AMBM為定值,則4m2+83m+11m24=4,
解得m=-938,即有AMBM=-1364
當(dāng)直線l的斜率不存在時,A(-3,-12),B(-3,12),
AM=(-38,12),BM=(-38,-12),
可得AMBM=-1364
則在x軸上存在定點M(-938,0),使得AMBM為定值-1364

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的離心率和直線和圓相切的條件:d=r,考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理,考查分類討論的思想方法,屬于中檔題.

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