分析 (1)求得拋物線的焦點坐標(biāo),可得c=√3,即a2-b2=3,求得直線經(jīng)過(-c,0)和(0,b)的方程,運用直線和圓相切的條件:d=r,結(jié)合離心率公式可得b,a,進而得到橢圓方程;
(2)假設(shè)直線l的斜率存在,設(shè)直線的方程為y=k(x+√3),代入橢圓方程x2+4y2=4,可得x的方程,運用韋達定理,設(shè)出M(m,0),運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡整理,結(jié)合定值,可得m,以及向量數(shù)量積的值;再討論直線l的斜率不存在,求得A,B,驗證成立.
解答 解:(1)拋物線y2=-4√3x的焦點為(-√3,0),
由題意可得c=√3,即a2-b2=3,
由直線l經(jīng)過(-c,0)和(0,b),可得直線l:bx-cy+bc=0,
直線l與原點O為圓心,以橢圓的離心率e為半徑的圓相切,可得
|bc|√2+c2=e=bca=ca,解得b=1,則a=2,
即有橢圓的方程為x24+y2=1;
(2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線的方程為y=k(x+√3),
代入橢圓方程x2+4y2=4,可得(1+4k2)x2+8√3k2x+12k2-4=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=-8√3k21+4k2,x1x2=12k2−41+4k2,
設(shè)M(m,0),→AM=(m-x1,-y1),→BM=(m-x2,-y2),
→AM•→BM═(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1+√3)(x2+√3)
=m2+(√3k2-m)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+3k2
=m2+(√3k2-m)(-8√3k21+4k2)+(1+k2)•12k2−41+4k2+3k2
=(4m2+8√3m+11)k2+m2−41+4k2,
要使→AM•→BM為定值,則4m2+8√3m+11m2−4=4,
解得m=-9√38,即有→AM•→BM=-1364.
當(dāng)直線l的斜率不存在時,A(-√3,-12),B(-√3,12),
→AM=(-√38,12),→BM=(-√38,-12),
可得→AM•→BM=-1364.
則在x軸上存在定點M(-9√38,0),使得→AM•→BM為定值-1364.
點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的離心率和直線和圓相切的條件:d=r,考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理,考查分類討論的思想方法,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①③ | D. | ①②③ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 210-1 | B. | 212-1 | C. | 310-1 | D. | 332-1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (0,\frac{1}{2}}) | B. | ({\frac{1}{2},1) | C. | (1,2) | D. | (2,3) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √32 | B. | -√32 | C. | 12 | D. | -12 |
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