Question

3．在如圖所示的幾何體中，平面ACE⊥平面ABCD，四邊形ABCD 為平行四邊形，
∠CAD=90°，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，AC=$\sqrt{2}$，AE=EC=1．
（1）求證：CE⊥AF；
（2）若三棱錐F-ACD 的體積為$\frac{1}{3}$，求點D 到平面ACF 的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出AD⊥平面AEC，從而AD⊥CE，由勾股定理得AE⊥EC，從而CE⊥平面ADEF，由此能證明CE⊥AF．
（2）設AC的中點為G，連接EG，推導出點F到面ABCD的距離等于點E到面ABCD的距離，由V_F-ACD=V_E-ACD，能求出點D到平面ACF的距離．

解答 證明：（1）∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，
∵AD⊥AC，∴AD⊥平面AEC…（1分）
∵CE?平面AEC，∴AD⊥CE，…（2分）
又$AC=\sqrt{2}，AE=EC=1$，∴AC²=AE²+CE²，∴AE⊥EC…（3分）
∵EF∥BC，BC∥AD，∴EF∥AD即A、D、E、F共面，…（4分）
又AE∩AD=D，∴CE⊥平面ADEF，…（5分）
∵AF?面ADEF，∴CE⊥AF．…（6分）
解：（2）設AC的中點為G，連接EG，
∵AE=CE，∴EG⊥AC
∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，
∴EG⊥平面ABCD∵EF∥BC，EF?平面ABCD，
∴點F到面ABCD的距離等于點E到面ABCD的距離，即EG…（7分）
∴${V_{F-ACD}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•EG=\frac{1}{3}$…（8分）
${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•AD=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•AD$，$EG=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴${V_{F-ACD}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•AD•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{3}$，所以AD=2…（9分）
∴BC=AD=2，$EF=\frac{1}{2}BC=1$，$FA=FC=\sqrt{A{E^2}+E{F^2}}=\sqrt{2}$，
所以${S_{△FAC}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}•\sqrt{2}•sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（10分）
設點D到平面ACF的距離為d，則$\frac{1}{3}{S_{△FAC}}•d=\frac{1}{3}$，…（11分）
解得$d=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以點D到平面ACF的距離$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．