【題目】楊輝三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了楊輝三角.在歐洲,帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律,所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一,它把二項式系數(shù)圖形化,把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來,是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.

0

1

1

1 1

2

1 2 1

3

1 3 3 1

4

1 4 6 4 1

5

1 5 10 10 5 1

6

1 6 15 20 15 6 1

1)記楊輝三角的前n行所有數(shù)之和為,求的通項公式;

2)在楊輝三角中是否存在某一行,且該行中三個相鄰的數(shù)之比為?若存在,試求出是第幾行;若不存在,請說明理由;

3)已知n,r為正整數(shù),且.求證:任何四個相鄰的組合數(shù),,不能構(gòu)成等差數(shù)列.

【答案】12)存在;第62行(3)證明見解析

【解析】

1)由二項式定理的性質(zhì),楊輝三角第行的n個數(shù)的和為:,然后求出即可

2)由方程,解出即可

3)若有nr),使得,,成等差數(shù)列,則由等差中項和組合數(shù)的知識可得出,然后可得,這與,,,成等差數(shù)列相矛盾.

1)由二項式定理的性質(zhì),楊輝三角第行的n個數(shù)的和為:

,

.

2)楊輝三角形的第n行由二項式系數(shù),12,…,n組成.

如果第n行中有,

那么,

解這個聯(lián)立方程組,得,.

即第62行有三個相鄰的數(shù),,的比為.

3)若有n,r),使得,,成等差數(shù)列,

,,

.

所以有,

,

經(jīng)整理得到.

兩式相減可得

而由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知,

這與,,,成等差數(shù)列矛盾,

所以原命題得證.

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C.D.

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