Question

20．若函數(shù)f（x）=ae^x-x-2a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，\frac{1}{e}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=ae^x-x-2a的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ae^x-1，
當(dāng)a≤0時，f′（x）≤0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，不可能有兩個零點；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x=ln$\frac{1}{a}$，函數(shù)在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）遞減，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
f（x）的最小值為f（ln$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$-2a=1+lna-2a＜0即可，

解答 解：函數(shù)f（x）=ae^x-x-2a的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ae^x-1，
當(dāng)a≤0時，f′（x）≤0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)，不可能有兩個零點；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，得x=ln$\frac{1}{a}$，函數(shù)在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）遞減，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
所以f（x）的最小值為f（ln$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$-2a=1+lna-2a，
令g（a）=1+lna-2a，（a＞0），g′（a）=$\frac{1}{a}-2$，a$∈（0，\frac{1}{2}）$，g（a）遞增，a$∈（\frac{1}{2}，+∞）$遞減，
∴$；g（a）_{max}=g（\frac{1}{2}）=-ln2＜0$$g（a）_{max}=g（\frac{1}{2}）=-ln2＜0$
∴f（x）的最小值為f（ln$\frac{1}{a}$）＜0，函數(shù)f（x）=ae^x-x-2a有兩個零點；
綜上實數(shù)a的取值范圍是：（0，+∞），
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)與函數(shù)圖象和橫軸交點的轉(zhuǎn)換，屬于中檔題．