Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． 0＜a＜$\frac{1}{3}$
• B． 0＜a＜$\frac{2}{3}$
• C． a＞$\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$＜a＜1

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在（0，3）內(nèi)不單調(diào)?函數(shù)f（x）在（0，3）內(nèi)存在極值?f′（x）=0在（0，3）內(nèi)有解，即ax²-2x=0在（0，3）內(nèi)有解．即可得出a的取值范圍．

解答 解：f′（x）=ax²-2x．（a＞0）．
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)不單調(diào)，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-x²（a＞0）在（0，3）內(nèi)存在極值，
∴f′（x）=0在（0，3）內(nèi)有解，即ax²-2x=0在（0，3）內(nèi)有解．
∵x≠0，∴可化為ax-2=0，∴a=$\frac{2}{x}$，
∵x∈（0，3），∴$\frac{2}{x}$＞$\frac{2}{3}$，即a＞$\frac{2}{3}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．