Question

10．$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）=2．

Answer 1

分析 將要求式子兩邊乘2（1-$\frac{1}{2}$），運用平方差公式，化簡整理，再由數列極限的基本公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=2（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=2（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=2（1-$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=2（1-$\frac{1}{{2}^{8}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=…=2（1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n+1}}}$），
則$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{8}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{{2}^{n}}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$2（1-$\frac{1}{{2}^{{2}^{n+1}}}$）
=2-$\underset{lim}{n→∞}$2•$\frac{1}{{2}^{{2}^{n+1}}}$=2-0=2．
故答案為：2．

點評 本題考查數列極限的求法，注意運用平方差公式，以及常見數列的極限公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．