Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合題意證出EO為△PBD的中位線，從而得到EO∥PA，利用線面平行的判定定理，即可證出PA∥平面EBD；
（2）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC．

解答 證明：（1））連接AC，與BD交于O，連接EO，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，得O是AC的中點(diǎn)，
因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)E是三角形PAC的中位線，得EO∥PA，
又EO?平面EDB，PA?平面EDB
∴PA∥平面EDB；
（2）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                 
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．    
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．     
∵DC?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．

點(diǎn)評 本題在特殊的四棱錐中證明線面平行，平面與平面垂直的判定，解答的關(guān)鍵是證得DC⊥平面PAD，屬于中檔題