Question

4．已知光線經(jīng)過已知直線l₁：3x-y+7=0和l₂：2x+y+3=0的交點M，且射到x軸上一點N（1，0）后被x軸反射．
（1）求點M關(guān)于x軸的對稱點P的坐標；
（2）求反射光線所在的直線l₃的方程．
（3）求與l₃距離為$\sqrt{10}$的直線方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，求出M的坐標，從而求出P的坐標即可；
（2）法一：求出直線的斜率，從而求出直線方程即可；法二：求出直線PN的方程，根據(jù)對稱性求出直線方程即可；
（3）設(shè)出與l₃平行的直線方程，根據(jù)平行線的距離公式求出即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}3x-y+7=0\\ 2x+y+3=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right.$，∴M（-2，1）．
所以點M關(guān)于x軸的對稱點P的坐標（-2，-1）． …（4分）
（2）因為入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
直線MN的傾斜角為α，則直線l₃的斜斜角為180°-α.${k_{MN}}=\frac{0-1}{1-（-2）}=-\frac{1}{3}$，所以直線l₃的斜率${k_3}=\frac{1}{3}$．
故反射光線所在的直線l₃的方程為：$y=\frac{1}{3}（x-1）$．即$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$．…（9分）
解法二：
因為入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
根據(jù)對稱性∠1=∠3，∴∠2=∠3．
所以反射光線所在的直線l₃的方程就是直線PN的方程．
直線PN的方程為：$\frac{y-0}{-1-0}=\frac{x-1}{-2-1}$，整理得：$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$．
故反射光線所在的直線l₃的方程為$y=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$．…（9分）
（3）設(shè)與l₃平行的直線為$y=\frac{1}{3}x+b$，
根據(jù)兩平行線之間的距離公式得：$\frac{{|{b+\frac{1}{3}}|}}{{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}}=\sqrt{10}$，解得b=3，或$b=-\frac{11}{3}$，
所以與l₃$距離為\sqrt{10}的直線方程$為：$y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}$，或$y=\frac{1}{3}x+3$．…（13分）

點評 本題考查了點對稱、直線對稱問題，考查求直線方程，是一道中檔題．