Question

14．分別判斷數(shù)列{a_n}是否有極限，并說明理由．
（1）a_n=$\frac{n+1}{n}$．
（2）a_n=1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{n+1}{n}$=$1+\frac{1}{n}$，可知當(dāng)n→+∞時，$\frac{1}{n}$→0，得到數(shù)列極限為1；
（2）由a_n=1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+$（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}$，可知，當(dāng)n→+∞時，$（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}$→0，得到數(shù)列極限為1．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{n+1}{n}$=$1+\frac{1}{n}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{1}{n}）=1$；
∴數(shù)列{$\frac{n+1}{n}$}有極限為1；
（2）∵a_n=1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ=1+$（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}{a}_{n}=\underset{lim}{n→∞}[1+（-1）^{n}•\frac{1}{{2}^{n}}]$=1．
∴數(shù)列{1+（-$\frac{1}{2}$）ⁿ}有極限為1．

點評 本題考查數(shù)列極限，考查數(shù)列極限的求法，是中檔題．