Question

11．（1）用適當(dāng)方法證明：如果a＞0，b＞0那么$\frac{a}{\sqrt}$+$\frac{\sqrt{a}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$
（2）若下列三個(gè)方程：x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1））（用綜合法），作差證明即可；
（2）（用反證法）研究的三個(gè)方程至少有一個(gè)有實(shí)根，此類(lèi)題求解時(shí)通常轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立面，研究三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)a的取值集合，其補(bǔ)集即是所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 證明（1）：（用綜合法）$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}-（\sqrt{a}+\sqrt）=\frac{a}{{\sqrt}}-\sqrt+\frac{{\sqrt{a}}}-\sqrt{a}=\frac{a-b}{{\sqrt}}+\frac{b-a}{{\sqrt{a}}}$，
=$（a-b）（\frac{1}{{\sqrt}}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}）=\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt）}}{{\sqrt{ab}}}$．
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{{{{（\sqrt{a}-\sqrt）}^2}（\sqrt{a}+\sqrt）}}{{\sqrt{ab}}}≥0$，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}+\frac{{\sqrt{a}}}≥\sqrt{a}+\sqrt$．
（2）：假設(shè)沒(méi)有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則：
16a²-4（3-4a）＜0，①
（a-1）²-4a²＜0，②
4a²+8a＜0，③，
由①②③解得：-$\frac{3}{2}$＜a＜-1，
故三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的a的取值范圍是：{a|a≥-1或a≤-$\frac{3}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作差法比較大小以及反證法，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．