Question

7．已知函數(shù)y=e^x．
（1）求這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)（e，e^e）處的切線的方程；
（2）過原點(diǎn)作曲線y=e^x的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，求出切線的斜率，求出切點(diǎn)為（e，e^e）．然后求解切線方程．
（2）設(shè)過原點(diǎn)且與y=e^x相切的直線為y=kx．設(shè)切點(diǎn)為（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），則k=${e}^{{x}_{0}}$，列出方程求解即可．

解答 解：由題意y′=e^x．
（1）x=e時(shí)，y′=e^e即為x=e處切線的斜率，切點(diǎn)為（e，e^e）．
故切線方程為y-e^e=e^e（x-e）
即e^ex-y+e^e-e^e+1=0．
（2）設(shè)過原點(diǎn)且與y=e^x相切的直線為y=kx．
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），則k=${e}^{{x}_{0}}$．
又k=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，∴$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}$，
∴x₀=1，
切線方程為：y-e=e（x-1）
即ex-y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的切線方程的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．