Question

10．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，M是雙曲線上的一點(diǎn)，且|MF₁|=$\sqrt{3}$，|MF₂|=1，∠MF₁F₂=30°，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{3}-1$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$或$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 利用正弦定理計(jì)算∠MF₂F₁=60°或120°，分類求出c的值，利用雙曲線的定義計(jì)算a，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：∵M(jìn)是雙曲線上的一點(diǎn)，|MF₁|=$\sqrt{3}$，|MF₂|=1，∠MF₁F₂=30°，
由正弦定理可得，$\frac{|M{F}_{2}|}{sin∠M{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，即$\frac{1}{sin30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin∠M{F}_{2}{F}_{1}}$，
解得sin∠MF₂F₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠MF₂F₁=60°或120°，
當(dāng)∠MF₂F₁=60°時(shí)，△MF₂F₁為直角三角形，此時(shí)2c=|F₂F₁|=2．即c=1，
∵2a=|MF₁|-MF₂|=$\sqrt{3}$-1，即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1，
當(dāng)∠MF₂F₁=120°時(shí)，△MF₂F₁為直角三角形，此時(shí)2c=|F₂F₁|=|MF₁|=1．即c=$\frac{1}{2}$，
∵2a=|MF₁|-MF₂|=$\sqrt{3}$-1，即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．