Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為$\frac{2}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）已知a=1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需令f′（x）＞0解出單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0解出單調(diào)減區(qū)間．
（2）區(qū)間（0，1]上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{2-{x}^{2}}{x（2-x）}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\sqrt{2}$）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（$\sqrt{2}$，2）時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\sqrt{2}$），
單調(diào)遞減區(qū)間為（$\sqrt{2}$，2）；…（5分）  
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）=$\frac{2-2x}{x（2-x）}$+a＞0，
即f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
故f（x）在 （0，1]上的最大值為f（1）=a，
因此a=$\frac{2}{3}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí)，屬于中檔題．