Question

15．已知向量$\overrightarrow m=（2acosx，sinx）$，$\overrightarrow n=（cosx，bcosx）$，函數(shù)$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，函數(shù)f（x）在y軸上的截距為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，與y軸最近的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是$（\frac{π}{12}，1）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=sinx的圖象，求φ的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的最值，結(jié)合已知條件求得a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得φ的最小值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2a{cos^2}x+bsinxcosx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由$f（0）=2a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
此時(shí)，$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x+\frac{2}sin2x$，
由$f（x）≤\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{b^2}{4}}=1$，得b=1或b=-1，
當(dāng)b=1時(shí)，$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$，經(jīng)檢驗(yàn)$（\frac{π}{12}，1）$為最高點(diǎn)；
當(dāng)b=-1時(shí)，$f（x）=sin（2x+\frac{2π}{3}）$，經(jīng)檢驗(yàn)$（\frac{π}{12}，1）$不是最高點(diǎn)，故舍去．
故函數(shù)的解析式為$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ個(gè)單位后得到函數(shù)$y=sin（2x+2φ+\frac{π}{3}）$的圖象；
橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍后，得到函數(shù)$y=sin（x+2φ+\frac{π}{3}）$的圖象，
∴$2φ+\frac{π}{3}=2kπ$（k∈Z），$φ=-\frac{π}{6}+kπ$（k∈Z），
因?yàn)棣眨?，所以φ的最小值為$\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的最值，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．