Question

10．已知向量$\overrightarrow a=（cos（\frac{π}{2}+x），sin（\frac{π}{2}+x））$，$\overrightarrow b=（-sinx，\sqrt{3}sinx）$，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及f（x）的最大值；
（2）在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2$\sqrt{3}$，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性以及最值，從而求得函數(shù)f（x）的最小正周期及f（x）的最大值．
（2）利用余弦定理以及基本不等式，求得三角形ABC面積的最大值．

解答 解：（1）易得$\overrightarrow a=（-sinx，cosx）$，
則f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b={sin^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，當(dāng)$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$時(shí)，
即$x=\frac{π}{3}+kπ，（k∈Z）$，f（x）取最大值$\frac{3}{2}$．
（2）銳角三角形ABC中，∵f（$\frac{A}{2}$）=sin（A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a²=b²+c²-2bccosA，∴12=b²+c²-bc，
∴b²+c²=12+bc≥2bc，∴bc≤12．（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）
∴S=$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤3$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)三角形ABC為等邊三解形時(shí)面積的取最大值是3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性以及最值，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．