Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

（1）求橢圓的方程；

（2）若是橢圓的左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，求與的面積之差的絕對(duì)值的最大值，并求取得最大值時(shí)直線(xiàn)的方程．為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，直線(xiàn)的方程為

【解析】

（1）由題意可知：，，根據(jù)橢圓的性質(zhì)：，即可求得和的值，從而求得橢圓方程；

（2）由題意設(shè)直線(xiàn)方程，，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得，根據(jù)三角形的面積公式，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而求得的最大值，此時(shí)即可求出直線(xiàn)方程．

（1）由題意得，即，

因?yàn)?/span>，即，

又，

故橢圓的方程為：；

（2）設(shè)的面積為，的面積為，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，，

由，整理得：，

由韋達(dá)定理可知：，

，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）．

的最大值為，直線(xiàn)的方程為.