Question

11．已知B（m，2b）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=60°，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

• A． y=±$\frac{{\sqrt{10}}}{2}x$
• B． y=±$\frac{{\sqrt{13}}}{2}x$
• C． y=±$\frac{{\sqrt{15}}}{2}x$
• D． y=±$\frac{{\sqrt{19}}}{2}x$

Answer 1

分析 由題意可知，B（m，2b）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一點(diǎn)，代入可得m=$\sqrt{5}$a，利用tan60°=$\frac{2b}{\sqrt{5}a}$，解得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，從而求得此雙曲線的漸近線方程．

解答 解：由題意得，B（m，2b）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=l（a＞0，b＞0）的右支上一點(diǎn)，代入可得m=$\sqrt{5}$a
∵A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=60°，∴tan60°=$\frac{2b}{\sqrt{5}a}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，∴此雙曲線的漸近線方程是 y=±$\frac{\sqrt{15}}{2}$x，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用tan60°=$\frac{2b}{\sqrt{5}a}$是解題的關(guān)鍵．