Question

4．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos²$\frac{A}{2}$，cosB），$\overrightarrow{n}$=（-a，4c+2b），$\overrightarrow{p}$=（1，0），且（$\overrightarrow{m}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{p}$）∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量共線的條件可求$\frac{1}{2}$cosA（4c+2b）=-acosB，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律可得sinC+2sinCcosA=0，由于sinC＞0，可求cosA，進(jìn)而可求A的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求b+c≤2，即可求得△ABC的周長的最大值．

解答 解：（Ⅰ）（$\overrightarrow{m}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{p}$）=（cos²$\frac{A}{2}$$-\frac{1}{2}$，cosB）=（$\frac{1}{2}$cosA，cosB），
∵（$\overrightarrow{m}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{p}$）∥$\overrightarrow{n}$，
∴$\frac{1}{2}$cosA（4c+2b）=-acosB，
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，
即2sinCcosA+（sinBcosA+sinAcosB）=0，
整理可得sinC+2sinCcosA=0．
∵0＜C＜π，sinC＞0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
即3=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，可得：bc=（b+c）²-3．
∵bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，
∴$\frac{1}{4}$（b+c）²≥（b+c）²-3，即$\frac{3}{4}$（b+c）²≤3，
故b+c≤2．
故△ABC的周長為a+b+c≤$\sqrt{3}+2$，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)，△ABC的周長取得最大值$\sqrt{3}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量共線的條件，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的規(guī)律，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．