Question

13．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）+f（2-x）=0，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4，x＞2}\\{-{x}^{2}+4x-4，x＜2}\end{array}\right.$，若曲線y=f（x）與y=g（x）交于A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），則$\sum_{i=1}^{n}$（x_i+y_i）等于（　�。�

• A． 4n
• B． 2n
• C． n
• D． 0

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱；畫出y=g（x）的圖象，可得g（x）的圖象也關(guān)于點（2，0）對稱，即有f（x）與g（x）的交點關(guān)于點（2，0）對稱，相加計算即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）+f（2-x）=0，
可得f（x）的圖象關(guān)于點（2，0）對稱；
由g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4，x＞2}\\{-{x}^{2}+4x-4，x＜2}\end{array}\right.$，
可得圖象如右，
g（x）的圖象也關(guān)于點（2，0）對稱，
即有f（x）與g（x）的交點關(guān)于點（2，0）對稱，
則$\sum_{i=1}^{n}$（x_i+y_i）=$\sum_{i=1}^{n}$x_i+$\sum_{i=1}^{n}$y_i，
即有$\sum_{i=1}^{n}$y_i=0，
可設(shè)t=x₁+x₂+x₃+…+x_n，
t=x_n+x_n-1+x_n-2+…+x₁，
相加可得2t=（x₁+x_n）+（x₂+x_n-1）+…+（x_n+x₁）
=4+4+…+4=4n，
解得t=2n．
故選：B．

點評 本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的對稱性和運用，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．