Question

17．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中點．
（1）求異面直線AE和PB所成角的余弦值．
（2）求三棱錐A-EBC的體積．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點F，連結EF、AF，則EF∥PB，∠AEF（或其補角）就是異面直線AE和PB所成角，由此能求出異面直線AE和PB所成角的余弦值．
（2）由V_A-EBC=V_E-ABC，能求出三棱錐A-EBC的體積．

解答 解：（1）取BC的中點F，連結EF、AF，則EF∥PB，
所以∠AEF（或其補角）就是異面直線AE和PB所成角．
∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，
∴AF=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$；
cos∠AEF=$\frac{2+2-3}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$，
所以異面直線AE和PB所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．…（8分）
（2）因為E是PC中點，
所以E到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}$PA=1，
∴三棱錐A-EBC的體積：
V_A-EBC=V_E-ABC=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．