Question

8．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（1）求數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n的表達式；
（2）當n為何值時，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意易得數列的公差，進而可通項公式及前n項和S_n的表達式；
（2）利用二次函數的性質求前n項和的最大值．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=24}\\{{a}_{1}+5d=18}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=28}\\{d=-2}\end{array}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=28-2（n-1）=30-2n，
S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）n}{2}$=$\frac{（28+30-2n）n}{2}$=-n²+29n，即S_n=-n²+29n．
（2）S_n=-n²+29n=-（n-$\frac{29}{2}$）²+（$\frac{29}{2}$）²，
又因為n∈N^*，所以，當n=14或15時，S_n最大，最大值為210．

點評 本題考查了等差數列的通項公式，考查了等差數列的前n項和公式，訓練了利用二次函數求最值的解題方法，是基礎題．