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已知橢圓：過點，上、下焦點分別為、，
向量．直線與橢圓交于兩點，線段中點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的方程；
（3）記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為，若曲線
與區(qū)域有公共點，試求的最小值．

（1）（2）（3）

解析試題分析：[解]（1）
解得：，橢圓方程為
（2）①當斜率不存在時，由于點不是線段的中點，所以不符合要求；
②設直線方程為，代入橢圓方程整理得

 
解得
所以直線
（3）化簡曲線方程得：，是以為圓心，為半徑的圓。當圓與直線相切時，，此時為，圓心。
由于直線與橢圓交于，
故當圓過時，最小。此時，。
考點：橢圓的方程
點評：關于曲線的大題，第一問一般是求出曲線的方程，第二問常與直線結合起來，當涉及到交點時，常用到根與系數的關系式：（）。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓與直線相交于兩點．
（1）若橢圓的半焦距，直線與圍成的矩形的面積為8，
求橢圓的方程；
（2）若（為坐標原點），求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在矩形中，分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設,．

（Ⅰ）求直線與的交點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過圓上一點作圓的切線與軌跡交于兩點，若，試求出的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左焦點為，直線與軸交于點，過點且傾斜角為30°的直線交橢圓于兩點．
（Ⅰ）求直線和橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：點在以線段為直徑的圓上；
（Ⅲ）在直線上有兩個不重合的動點，以為直徑且過點的所有圓中，求面積最小的圓的半徑長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

過直線y=﹣1上的動點A（a，﹣1）作拋物線y=x2的兩切線AP，AQ，P，Q為切點．
（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，求證：k1•k2為定值．
（2）求證：直線PQ過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點P（4， 4），圓C：與橢圓E：有一個公共點A（3，1），F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．

（Ⅰ）求m的值與橢圓E的方程；（Ⅱ）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，己知直線l與拋物線相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，定點B（2，0）．

（1）若動點M滿足，求點M軌跡C的方程：
（2）若過點B的直線（斜率不為零）與（1）中的軌跡C交于不同的兩點E，F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：()經過與兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足．求證：為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數）.若以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為.
(Ⅰ) 求曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ) 求直線被曲線所截得的弦長.

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