分析 (1)取AD中點(diǎn)M,利用三角形的中位線證明EM∥平面PAB,利用同位角相等證明MC∥AB,得到平面EMC∥平面PAB,證得EC∥平面PAB;
(2)建立坐標(biāo)系,求出平面PAC的法向量,利用直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為√155,可得結(jié)論.
解答 (1)證明:取AD中點(diǎn)M,連EM,CM,則EM∥PA.
∵EM?平面PAB,PA?平面PAB,
∴EM∥平面PAB.
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°.
而∠BAC=60°,∴MC∥AB.
∵M(jìn)C?平面PAB,AB?平面PAB,∴MC∥平面PAB.
∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.
∵EC?平面EMC,∴EC∥平面PAB.
(2)解:過A作AF⊥AD,交BC于F,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(√32,-12,0),C(√3,1,0),D(0,4,0),P(0,0,2),
設(shè)平面PAC的法向量為→n=(x,y,z),則{2z=0√3x+y=0,取→n=(√3,-3,0),
設(shè)→PN=λ→PD(0≤λ≤1),則→PN=(0,4λ,-2λ),→CN=(-λ-1,2-2λ),
∴|cos<→n,→CN>|=\frac{|12λ|}{\sqrt{3+(4λ-1)^{2}+(2-2λ)^{2}}•\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{15}}{5},∴λ=\frac{1}{2},
∴N為PD的中點(diǎn),使得直線CN與平面PAC所成的角θ的正弦值為\frac{\sqrt{15}}{5}.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定,考查線面角,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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A. | [1,3) | B. | [\frac{1}{2},3) | C. | [0,4) | D. | [\frac{1}{2},4) |
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 0 | D. | -1 |
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A. | -3 | B. | 2 | C. | -3或2 | D. | \frac{1}{2} |
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A. | 3 | B. | 5 | C. | -4+i | D. | 4+i |
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