12.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+a•cos2x(a∈R).
(Ⅰ)若f($\frac{π}{6}$)=2,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在[$\frac{π}{12}$,$\frac{7π}{12}$]上單調(diào)遞減,求f(x)的最大值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)f($\frac{π}{6}$)=2,即可求a的值;
(Ⅱ)利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),f(x)在[$\frac{π}{12}$,$\frac{7π}{12}$]上單調(diào)遞減,可得最大值.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)?f(\frac{π}{6})=\sqrt{3}sin2•\frac{π}{6}+a•cos2•\frac{π}{6}=2$,
∵$\frac{3}{2}+a•\frac{1}{2}=2$.
故得:a=1.
(Ⅱ)由題意:f(x)=$\sqrt{3+{a}^{2}}sin(2x+θ)$,其中tan$θ=\frac{a}{\sqrt{3}}$,
∴函數(shù)的周期T=π,且$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}=\frac{π}{2}$,
所以當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,即f(x)max=f($\frac{π}{12}$)═$\sqrt{3+{a}^{2}}sin(\frac{π}{6}+θ)$=$\sqrt{3+{a}^{2}}$,
∴sin($\frac{π}{6}+θ$)=1,
∴$θ=\frac{π}{3}+2kπ$,k∈Z.
∴tanθ=$\frac{a}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$,
∴a=3.
故得$f(x)=2\sqrt{3}sin(2x+\frac{π}{3})$.
因此f(x)的最大值為$2\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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2.巳知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),都有不等式f(x)+xf'(x)>0成立,若$a={4^{0.2}}f({{4^{0.2}}}),b=({{{log}_4}3})f({{{log}_4}3}),c=({{{log}_4}\frac{1}{16}})f({{{log}_4}\frac{1}{16}})$,則a,b,c的大小關(guān)系是c>a>b.

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20.已知x>y,則下列不等式一定成立的是( 。
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7.已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.若a1+a5=$\frac{17}{2}$,a2a4=4,則S6=( 。
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17.對于n維向量A=(a1,a2,…,an),若對任意i∈{1,2,…,n}均有ai=0或ai=1,則稱A為n維T向量.對于兩個(gè)n維T向量A,B,定義d(A,B)=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$.
(Ⅰ)若A=(1,0,1,0,1),B=(0,1,1,1,0),求d(A,B)的值.
(Ⅱ)現(xiàn)有一個(gè)5維T向量序列:A1,A2,A3,…,若A1=(1,1,1,1,1)且滿足:d(Ai,Ai+1)=2,i∈N*.求證:該序列中不存在5維T向量(0,0,0,0,0).
(Ⅲ)現(xiàn)有一個(gè)12維T向量序列:A1,A2,A3,…,若${A_1}=(\underbrace{1,1,…,1}_{12個(gè)})$且滿足:d(Ai,Ai+1)=m,m∈N*,i=1,2,3,…,若存在正整數(shù)j使得${A_j}=(\underbrace{0,0,…,0}_{12個(gè)})$,Aj為12維T向量序列中的項(xiàng),求出所有的m.

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9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.
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