分析 (Ⅰ)根據(jù)f($\frac{π}{6}$)=2,即可求a的值;
(Ⅱ)利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),f(x)在[$\frac{π}{12}$,$\frac{7π}{12}$]上單調(diào)遞減,可得最大值.
解答 解:(Ⅰ)因?yàn)?f(\frac{π}{6})=\sqrt{3}sin2•\frac{π}{6}+a•cos2•\frac{π}{6}=2$,
∵$\frac{3}{2}+a•\frac{1}{2}=2$.
故得:a=1.
(Ⅱ)由題意:f(x)=$\sqrt{3+{a}^{2}}sin(2x+θ)$,其中tan$θ=\frac{a}{\sqrt{3}}$,
∴函數(shù)的周期T=π,且$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}=\frac{π}{2}$,
所以當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,即f(x)max=f($\frac{π}{12}$)═$\sqrt{3+{a}^{2}}sin(\frac{π}{6}+θ)$=$\sqrt{3+{a}^{2}}$,
∴sin($\frac{π}{6}+θ$)=1,
∴$θ=\frac{π}{3}+2kπ$,k∈Z.
∴tanθ=$\frac{a}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$,
∴a=3.
故得$f(x)=2\sqrt{3}sin(2x+\frac{π}{3})$.
因此f(x)的最大值為$2\sqrt{3}$.
點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.
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A. | [-1,6) | B. | (-1,6) | C. | (-$\frac{8}{3}$,-1] | D. | (-$\frac{8}{3}$,-1) |
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A. | $\frac{1}{x}<\frac{1}{y}$ | B. | log2(x-y)>0 | C. | x3<y3 | D. | ${(\frac{1}{2})^x}<{(\frac{1}{2})^y}$ |
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A. | $\frac{27}{16}$ | B. | $\frac{27}{8}$ | C. | $\frac{63}{4}$ | D. | $\frac{63}{2}$ |
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