Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+ax，x≤0}\\{（4-a）x+2a，x＞0}\end{array}\right.$若對于任意兩個不等實數(shù)x₁，x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [1，3）
• B． [$\frac{1}{2}$，3）
• C． [0，4）
• D． [$\frac{1}{2}$，4）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-x，則F（x）為增函數(shù)，列不等式組解出a的范圍．

解答 解：不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂，
∴f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，
令F（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+（a-1）x，x≤0}\\{（3-a）x+2a，x＞0}\end{array}\right.$，則F（x）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x≤0時，F(xiàn)′（x）=e^x+（a-1）≥0恒成立，即a≥1-e^x在（-∞，0]上恒成立，
由y=1-e^x在（-∞，0]上單調(diào)遞減，且x→-∞時，1-e^x→1，
∴a≥1，
當(dāng)x＞0時，F(xiàn)（x）是一次函數(shù)，故3-a＞0，即a＜3，
又F（x）在R上是增函數(shù)，∴1≤2a，即a≥$\frac{1}{2}$．
綜上，1≤a＜3．
故選A．

點評 本難題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．