Question

19．已知f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-1
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若y=f（x+φ）關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，求|φ|的最小值；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，若方程|f（x）|-m=0有4個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用降冪公式與輔助角公式化簡，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求出f（x+φ），由y=f（x+φ）關(guān)于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，可得$\frac{2π}{3}+$2φ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+$kπ，k∈Z，得φ=$-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．進(jìn)一步求得|φ|的最小值；
（3）畫出|f（x）|在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：（1）f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）-1
=$\sqrt{3}sin2x+2co{s}^{2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）f（x+φ）=2sin[2（x+φ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+2φ+$\frac{π}{6}$），
∵x=$\frac{π}{3}$是f（x+φ）的對稱軸，
∴$\frac{2π}{3}+$2φ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+$kπ，k∈Z，即φ=$-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴|φ|的最小值為$\frac{π}{6}$；
（3）|f（x）|在[0，$\frac{π}{2}$]上的圖象如下：

當(dāng)直線y=m與函數(shù)y=|f（x）|的圖象有4個不同交點時，就是方程
|f（x）|-m=0有4個不同的實數(shù)根，由圖可知，m的取值范圍是∅．

點評 本題考查根的存在行與根的個數(shù)判斷，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．