Question

14．平面α過正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點A，α∥平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面AB B₁A₁=n，則m，n所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖：α∥平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA₁B₁=n，可知：n∥CD₁，m∥B₁D₁，由△CB₁D₁是正三角形，即可得出m、n所成角．

解答 解：如圖：α∥平面CB₁D₁，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA₁B₁=n，
可知：n∥CD₁，m∥B₁D₁，
∵△CB₁D₁是正三角形．m、n所成角就是∠CD₁B₁=60°．
則m、n所成角的正弦值為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了空間位置關系、異面直線所成的角、等邊三角形的性質，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．