Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx+bx-c，f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，3}]$內(nèi)，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式、法則求出f′（x），根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出b的值，將（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由（1）求出函數(shù)的定義域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤-2-$\frac{lnx+3}{x}$在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，3}]$內(nèi)恒成立，求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，f′（x）=$\frac{1}{x}$+b，則f′（1）=1+b，
∵在點（1，f（1））處的切線方程為x+y+4=0，
∴切線斜率為-1，則1+b=-1，得b=2-，
將（1，f（1））代入方程x+y+4=0，
得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=b-c=-5，將b=2代入得c=3，
故f（x）=lnx-2x-3；
（2）依題意知函數(shù)的定義域是（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，
令f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0得，x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）．
（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤-2-$\frac{lnx+3}{x}$在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，3}]$內(nèi)恒成立，
設(shè)g（x）=-2-$\frac{lnx+3}{x}$，則g′（x）=$\frac{lnx+2}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在區(qū)間$[{\frac{1}{2}，3}]$上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最小值為g（$\frac{1}{2}$）=2ln2-8，
∴k≤2ln2-8．

點評 本題考查求導(dǎo)公式和法則，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，考查恒成立問題，是一道中檔題．