【題目】設(shè)數(shù)列{an},對任意n∈N*都有(kn+b)(a1+an)+p=2(a1+a2…+an),(其中k、b、p是常數(shù)).
(1)當(dāng)k=0,b=3,p=﹣4時,求a1+a2+a3+…+an;
(2)當(dāng)k=1,b=0,p=0時,若a3=3,a9=15,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當(dāng)k=1,b=0,p=0時,設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,a2﹣a1=2,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{an},使得對任意n∈N*,都有Sn≠0,且.若存在,求數(shù)列{an}的首項a1的所有取值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)an=2n﹣3(3)存在;a1=4或a1=6或a1=8或a1=10
【解析】
(1)當(dāng)k=0,b=3,p=﹣4時,3(a1+an)﹣4=2(a1+a2+…+an),再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列,從而可求a1+a2+a3+…+an;
(2)當(dāng)k=1,b=0,p=0時,n(a1+an)=2(a1+a2+…+an),再寫一式,兩式相減,可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,從而可求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)確定數(shù)列{an}的通項,利用{an}是“封閉數(shù)列”,得a1是偶數(shù),從而可得,再利用,驗證,可求數(shù)列{an}的首項a1的所有取值.
(1)當(dāng)k=0,b=3,p=﹣4時,3(a1+an)﹣4=2(a1+a2+…+an),①
用n+1去代n得,3(a1+an+1)﹣4=2(a1+a2+…+an+an+1),②
②﹣①得,3(an+1﹣an)=2an+1,an+1=3an,
在①中令n=1得,a1=1,則an≠0,∴,
∴數(shù)列{an}是以首項為1,公比為3的等比數(shù)列,
∴a1+a2+a3+…+an;
(2)當(dāng)k=1,b=0,p=0時,n(a1+an)=2(a1+a2+…+an),③
用n+1去代n得,(n+1)(a1+an+1)=2(a1+a2+…+an+an+1),④
④﹣③得,(n﹣1)an+1﹣nan+a1=0,⑤
用n+1去代n得,nan+2﹣(n+1)an+1+a1=0,⑥
⑥﹣⑤得,nan+2﹣2nan+1+nan=0,即an+2﹣an+1=an+1﹣an,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
∵a3=3,a9=15,∴公差,∴an=2n﹣3.
(3)由(2)知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,∵a2﹣a1=2,∴an=a1+2(n﹣1).
又{an}是“封閉數(shù)列”,得:對任意m,n∈N*,必存在p∈N*使a1+2(n﹣1)+a1+2(m﹣1)=a1+2(p﹣1),
得a1=2(p﹣m﹣n+1),故a1是偶數(shù),
又由已知,,故,
一方面,當(dāng)時,數(shù)列{an}中每一項均為正數(shù),
故對任意n∈N*,都有,
另一方面,當(dāng)a1=2時,Sn=n(n+1),,
則,
取n=2,則,不合題意;
當(dāng)a1=4時,Sn=n(n+3),,則,符合題意;
當(dāng)a1≥6時,Sn=n(n+a1﹣1)>n(n+3),,,
則當(dāng)a1≥6時,均符合題意;
又,
∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某學(xué)校研究性課題《什么樣的活動最能促進(jìn)同學(xué)們進(jìn)行垃圾分類》向題的統(tǒng)計圖(每個受訪者都只能在問卷的5個活動中選擇一個),以下結(jié)論錯誤的是( 。
A. 回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個
B. 回答該問卷的受訪者中,選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多
C. 回答該問卷的受訪者中,選擇“學(xué)校團委會宣傳”的人數(shù)最少
D. 回答該問卷的受訪者中,選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學(xué)校要求”的少8個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,若,,且.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中曲線的左、右頂點分別為、,過點的直線與曲線交于兩點,(不與,重合).若直線與直線相交于點,試判斷點,,是否共線,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于兩點.
(1)寫出曲線C和直線l的普通方程;
(2)若點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度后關(guān)于軸對稱,則下列結(jié)論正確的是______.(填序號)
①是函數(shù)圖象的一個對稱中心;
②在區(qū)間上的最小值為-2;
③的單調(diào)遞增區(qū)間是;
④函數(shù)的圖象與直線在時只有一個交點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列結(jié)論:
(1)某學(xué)校從編號依次為001,002,…,900的900個學(xué)生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本,已知樣本中有兩個相鄰的編號分別為053,098,則樣本中最大的編號為862.
(2)甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5、6、9、10、5,那么這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲.
(3)若兩個變量的線性相關(guān)性越強,則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1.
(4)對A、B、C三種個體按3:1:2的比例進(jìn)行分層抽樣調(diào)查,若抽取的A種個體有15個,則樣本容量為30.
則正確的個數(shù)是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)兩個極值點分別為,,證明:.
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