Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}的首項a₁、公比q，且${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$，且{b_n}為遞增數(shù)列．若${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式求得首項a₁、公比q，然后數(shù)列{a_n}的通項公式；注意需要分類討論；
（2）利用（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項公式推知數(shù)列{b_n}的通項公式，然后根據(jù)拆項法推知數(shù)列{c_n}的通項公式，則易求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）因為等比數(shù)列{a_n}的首項a₁、公比q，且${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$，
所以①當(dāng)q=1時，a_n=$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)q≠1時，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=6}\\{q=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
則a_n=6×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
綜上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}（q=1）}\\{6×（-\frac{1}{2}）^{n-1}（q≠1）}\end{array}\right.$；
（2）因為${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$，且{b_n}為遞增數(shù)列，
所以a_n=6×（-$\frac{1}{2}$）^n-1．
所以a_2n+1=6×（$\frac{1}{4}$）ⁿ．
所以${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$=2n，則${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．
所以T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和的求解，利用拆項法和裂項相消法求和法是解決本題的關(guān)鍵．