Question

19．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$（x≠0）．
（1）判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性；
（2）判斷并證明函數(shù)在（2，+∞）上的單調(diào)性；
（3）解不等式f（2x²+5x+8）+f（x-3-x²）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上為增函數(shù)，
證法一：利用定義法，可證明結(jié)論；
證法二：利用導(dǎo)數(shù)法，可證明結(jié)論；
（3）由2x²+5x+8＞2，x²-x+3＞2，故原不等式可化為：2x²-5x+8＜x²-x+3，解得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$的定義域為：{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-（x+$\frac{4}{x}$）=-f（x）恒成立，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在（2，+∞）上為增函數(shù)，理由如下：
證法一：任取x₁，x₂∈（2，+∞）
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•（$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，
又∵x₁，x₂∈（2，+∞），
∴x₁•x₂＞4，x₁•x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以函數(shù)在（2，+∞）上為增函數(shù)，
證法二：∵f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0在（2，+∞）上恒成立，
故函數(shù)在（2，+∞）上為增函數(shù)
（3）因為2x²+5x+8＞2，x²-x+3＞2，
∴原不等式可化為：2x²-5x+8＜x²-x+3，
∴-5＜x＜-1
所以不等式的解集為：（-5，-1）．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法研究的單調(diào)性，單調(diào)性的應(yīng)用，難度中檔．