Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ）．
（Ⅰ）求C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M為曲線C₁上任意一點(diǎn)，過(guò)M作圓C₂的切線，切點(diǎn)為N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），相加可得普通方程．圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），展開(kāi)可得：ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（cosθ+sinθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）求出圓心到直線的距離d，可得|MN|的最小值=$\sqrt{d8bejrm^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），相加可得普通方程：x+y=-4．
圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$-θ），展開(kāi)可得：ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（cosθ+sinθ），
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x+4y．
（Ⅱ）由（x-2）²+（y-2）²=8，可得圓心C₂（2，2），半徑r=2$\sqrt{2}$．
圓心到直線的距離d=$\frac{|2+2+4|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
則|MN|的最小值=$\sqrt{i33wsns^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．