Question

5．已知f（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）最值；
（2）若f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），求證：x₁+x₂＞O．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷函數(shù)的極值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，不妨設(shè)x₁＜x₂，可知x₁＜0＜x₂，利用分析法逐步探究等價命題，轉(zhuǎn)化到證明（x）-f（-x）＜0，x∈（-∞，0），利用構(gòu)造法，通過導(dǎo)函數(shù)得出結(jié)論．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，
令f'（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$=0得x=0，
當x＜0時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴x=0時，f（x）取最大值f（0）=1，無最小值．
（Ⅱ）不妨設(shè)x₁＜x₂，
由上可知x₁＜0＜x₂，
故要證x₁+x₂＞0，
只需證x₂＞-x₁，根據(jù)單調(diào)性，
只需證f（-x₁）＞f（x₂），由f（x₁）=f（x₂）
即證f（-x₁）＞f（x₁），
即f（-x₁）-f（x₁）＞0，
下證f（x）-f（-x）＜0，x∈（-∞，0），
設(shè)g（x）=f（x）-f（-x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-e^x（1-x），
g'（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上遞增，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f（x）-f（-x）＜0，
∴x₁+x₂＞0．

點評 考查了導(dǎo)函數(shù)求極值的方法和分析法證明不等式，難點是對分析法的應(yīng)用．