Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線的夾角為60°，該雙曲線的離心率為2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)出雙曲線的兩條漸近線的方程，先由雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，得雙曲線的兩條漸近線的傾斜角，計(jì)算可得其斜率，由離心率的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的焦點(diǎn)在x軸上，其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)其一條漸近線線y=$\frac{a}$x的傾斜角為θ，則有tanθ=$\frac{a}$，
若雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則有2θ=60°或180-2θ=60°，
即有θ=30°或60°，
當(dāng)θ=30°時(shí)，tanθ=$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)θ=60°時(shí)，tanθ=$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故該雙曲線的離心率為2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案為：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意直線夾角的定義，需要分2種情況討論．