Question

已知圓：，點(diǎn)，直線.

(1)求與圓相切，且與直線垂直的直線方程；

（2）在直線上（為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)（不同于點(diǎn)），滿足：對于圓上的任一點(diǎn)，都有為一常數(shù)，試求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

（1）設(shè)所求直線方程為，即.

由直線與圓相切，可知，得，

故所求直線方程為             

（2）方法1：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，

     當(dāng)為圓與軸左交點(diǎn)時，，

     當(dāng)為圓與軸右交點(diǎn)時，

依題意，，解得（舍去），或.

下面證明：點(diǎn)對于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).

設(shè)，則.

，

從而為常數(shù).                           

方法2：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為常數(shù)，則，

于是，將代入得，

，即

對恒成立，

所以 ，解得或（舍去），

故存在點(diǎn)對于圓上任一點(diǎn)，都有為一常數(shù).