Question

19．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，圓C：（x-1）²+y²=r²．
（Ⅰ）求橢圓上動點P與圓心C距離的最小值；
（Ⅱ）如圖，直線l與橢圓相交于A、B兩點，且與圓C相切于點M，若滿足M為線段AB中點的直線l有4條，求半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩點之間的距離公式，根據(jù)x的取值范圍，即可求得丨PC丨的最小值；
（Ⅱ）利用點差法求得直線AB的斜率，根據(jù)k_MC×k_AB=-1，求得M點坐標，由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}＜1$，求得y₀²＜$\frac{5}{9}$，由圓的方程，即可求得半徑r的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y），丨PC丨=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{\frac{3}{4}（x-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由-2≤x≤2，當x=$\frac{4}{3}$時，丨PC丨_min=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
（Ⅱ）當直線AB斜率不存在時且與橢圓C相切時，M在x軸上，
故滿足條件的直線有兩條；
當直線AB斜率存在時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
則k_AB=-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，k_MC=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，k_MC×k_AB=-1，
則k_MC×k_AB=-$\frac{{x}_{0}}{4{y}_{0}}$×$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=-1，解得：x₀=$\frac{4}{3}$，
由M在橢圓內(nèi)部，則$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+{y}_{0}^{2}＜1$，解得：y₀²＜$\frac{5}{9}$，
由：r²=（x₀-1）²+y₀²=$\frac{1}{9}$+y₀²，
∴$\frac{1}{9}$＜r²＜$\frac{2}{3}$，解得：$\frac{1}{3}$＜r＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴半徑r的取值范圍（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

點評 本題考查點差法的應用，兩點直線的距離性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，考查計算能力，屬于中檔題．