Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n+1•a_n=a_n+1-1，且a₂₀₁₁=2，則前2011項的和等于1007．

Answer 1

分析 由已知結(jié)合數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，由此可得前2011項的和．

解答 解：∵a_n+1•a_n=a_n+1-1，
∴${a}_{n}=1-\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∵a₂₀₁₁=2，∴${a}_{2010}=1-\frac{1}{{a}_{2011}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
${a}_{2009}=1-\frac{1}{{a}_{2010}}=1-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-1$，
${a}_{2008}=1-\frac{1}{{a}_{2009}}=1-（-1）=2$，
…
∴數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，
∵2011=670×3+1，
∴S₂₀₁₁=$（\frac{1}{2}+2-1）×670+2=1007$．
故答案為：1007．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的前n項和，尋找數(shù)列周期是關(guān)鍵，是中檔題．