Question

16．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足下列三個(gè)條件：
①對任意的x₁，x₂∈[4，8]，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
②f（x+4）=-f（x）；
③y=f（x+4）是偶函數(shù)；
若a=f（6），b=f（11），c=f（2017），則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． a＜c＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由①分析可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[4，8]上為增函數(shù)，由②分析可得函數(shù)f（x）的周期為8，由③分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-4和x=4對稱，進(jìn)而分析可得a=f（6），b=f（11）=f（3）=f（5），c=f（2017）=f（252×8+1）=f（1）=f（7），結(jié)合函數(shù)在[4，8]上的單調(diào)性，分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，
若對任意的x₁，x₂∈[4，8]，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[4，8]上為增函數(shù)，
若f（x+4）=-f（x），則f（x+8）=-f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為8，
若y=f（x+4）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-4對稱，又由函數(shù)的周期為8，則函數(shù)f（x）的圖象也關(guān)于直線x=4對稱，
a=f（6），b=f（11）=f（3）=f（5），c=f（2017）=f（252×8+1）=f（1）=f（7），
又由函數(shù)f（x）在區(qū)間[4，8]上為增函數(shù)，
則有b＜a＜c；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析函數(shù)的單調(diào)性和周期性．